Aplicaciones a los problemas de Apolonio

Una de las principales aplicaciones que tiene la resolución de los problemas de Apolonio, es la trilateración hiperbólica, que tiene como objetivo la determinación de un punto mediante la diferencia de distancias entre otros tres conocidos. La trilateración hiperbólica es el principio basico usado en el DECCA Navigator y el LORAN, sistemas de posicionamiento y localizacion de aeronaves y barcos utilizados hasta la Segunda Guerra Mundial.

7 - Circunferencia tangente a otras dos y que pasa por un punto

Análisis mediante el Método Lógico Geométrico

Datos necesarios: N = 3

Restricciones: Un punto y dos condiciones de tangencia con las otras dos circunferencias. R = 3

Grados de libertad: G = N-R = 0 => Problema determinado

El punto es exterior a las circunferencias

En este caso hallamos los centros de homotecia directo H e inverso K. Llamamos A y B a los puntos de corte de las circunferencias con el segmento que une los centros de dichas circunferencias. A continuación, hallamos la circunferencia que pasa por los puntos A, B y P. El segmento que une el centro de homotecia H con el punto P determina otro punto M sobre la circunferencia ABP. Dos de las circunferencias buscadas (en color morado en la imagen se obtienen hallando las que son tangentes a cualquiera de las dadas y que pasan por los puntos P y M.

El punto está en una de las circunferencias

En el caso de que el punto dado P pertenezca a una de las circunferencias se resuelve también a partir de los los centros de homotecia H y K. Desde H trazamos una recta que pase por P, cortando a la otra circunferencia en M, que resulta ser el punto de tangencia de una de las circunferencias buscadas. Para encontrar el centro de esa circunferencia, hallamos la intersección de las rectas que unen los centros de las circunferencias con sus respectivos puntos de tangencia M y P. Para obtener la otra circunferencia, hacemos lo mismo con K, el otro centro de homotecia.

Los problemas de tangencias de Apolonio

Apolonio dió respuesta a los principales problemas de tangencias, mediante su teorema, el teorema de Apolonio en el que da respuesta al trazado de una circunferencia dados tres elementos, ya sea un punto (P), una recta (R), o una circunferencia (C). Éste lo citó de la siguiente manera:

"Dados tres elementos (punto, recta o circunferencia), trácese una circunferencia que sea tangente a cada uno de los tres."

El teorema de Apolonio da respuesta a los diez casos de tangecias. Estos son:

1. Construcción de una circunferencia que pasa por tres puntos - PPP
   
2. Dados dos puntos y una recta, hallar la circunferencia tangente a la recta y que pase por los dos puntos - PPR
   
3. Dadas tres rectas, construir la circunferencia tangente a las tres - RRR
   
4. Dados dos puntos y una circunferencia, trazar la circunferencia tangente que pasa por dos puntos y es tangente a otra circunferencia - PPC
   
5. Dados un punto y dos rectas, hallar la circunferencia tangente que pasa por un punto y es tangente a dos rectas - PRR
   
6. Dados un punto, una recta y una circunferencia, construir la circunferencia tangente a los tres elementos dados - PRC
   
7. Hallar la circunferencia tangente que pase por un punto y sea tangente a otras dos circunferencias dadas - PCC
   
8. Dados dos recta y una circunferencia, construir la circunferencia tangente a las rectas y a la circunferencia - RRC
   
9. Dados una recta y dos dircunferencias, trazar la circunferencia tangente a la recta y a las dos circunferencias - RCC
   
10. Dadas tres circunferencias, hallar la circunferencia tangente a las tres dadas - CCC
    

APOLONIO DE PERGA

Apolonio de Perga nació en Perga, Grecia Jónica, lo que es ahora Turquía, en el 262 a.C. aproximadamente, y murió en Alejandría, Egipto en el 190 a.C.

Apolonio era conocido como el "gran geómetra", principalmente por sus estudios en la geometría de las cónicas. De entre todos sus trabajos como geómetra, destacamos principalmente, su trabajo con las cónicas. Las Cónicas, fue su principal trabajo, compuesto por ocho volúmenes, explicaba teoremas, demostraciones, etc sobre las cónicas. Cabe destacar que fue el primero en dar nombre a lo que actualmente conocemos por parábola, elipse o hipérbola.

Con respecto a su trabajo literario, Las Cónicas, podemos destacar los principales temas que se explicaban en cada volumen. En los cuatro primeros volúmenes se daba una introducción elemental acerca de las propiedades básicas de los conos. Gran parte de esta información ya era sabida por la mayoría de los filósofos griegos como Euclides o Aristeo, con una gran diferencia, según Apolonio sus libros eran mas generalistas y mas trabajados.

En el volúmen uno, Apolonio estudió las propiedades fundamentales de las cónicas, es decir, las relaciones entre los diametros y tangentes de los conos. En el volumen dos, se dedicó a investigar sobre los diámetros conjugados y de las tangentes de estas curvas. En los volúmenes siguientes Apolonio discute las normales a las cónicas y muestra cuantas cónicas pueden dibujarse a partir de un punto. Un esquema de Las Cónicas sería el siguiente:

Tomo I - Propiedades fundamentales de las cónicas.
Tomo II - Diametros conjugados y tangentes de las cónicas.
Tomo III - El preferido de Apolonio.
Tomo IV - Maneras de sección de los conos.
Tomo V - Segmentos máximos y mínimos trazados respecto a una cónica.
Tomo VI - Cónicas semejantes.
Tomo VII - Diametros conjugados.
Tomo VIII - Apéndice

Pero eso no es todo acerca de Apolonio, es interesante hablar de su trabajo con las tangencias, puesto que fue él, el primero en determinar circunferencias tangentes a tres elementos dados, ya sean puntos, rectas o circunferencias. Estos casos, son los famosos problemas de Apolonio que estudiaremos más adelante.