7 - Circunferencia tangente a otras dos y que pasa por un punto

Análisis mediante el Método Lógico Geométrico

Datos necesarios: N = 3

Restricciones: Un punto y dos condiciones de tangencia con las otras dos circunferencias. R = 3

Grados de libertad: G = N-R = 0 => Problema determinado

El punto es exterior a las circunferencias

En este caso hallamos los centros de homotecia directo H e inverso K. Llamamos A y B a los puntos de corte de las circunferencias con el segmento que une los centros de dichas circunferencias. A continuación, hallamos la circunferencia que pasa por los puntos A, B y P. El segmento que une el centro de homotecia H con el punto P determina otro punto M sobre la circunferencia ABP. Dos de las circunferencias buscadas (en color morado en la imagen se obtienen hallando las que son tangentes a cualquiera de las dadas y que pasan por los puntos P y M.

El punto está en una de las circunferencias

En el caso de que el punto dado P pertenezca a una de las circunferencias se resuelve también a partir de los los centros de homotecia H y K. Desde H trazamos una recta que pase por P, cortando a la otra circunferencia en M, que resulta ser el punto de tangencia de una de las circunferencias buscadas. Para encontrar el centro de esa circunferencia, hallamos la intersección de las rectas que unen los centros de las circunferencias con sus respectivos puntos de tangencia M y P. Para obtener la otra circunferencia, hacemos lo mismo con K, el otro centro de homotecia.

6.- Circunferencia tangente a un punto una recta y a una circunferencia - PRC

Análisis mediante el Método Lógico Geométrico
Datos necesarios: N = 3
Restricciones: un punto que pertenece a la circunferencia, una recta y circunferencia tangentes (P, r, C). R = 3
Grados de libertad: G = N - R = 0 => Problema determinado.

El procedimiento para la resolución del problema se basa en tomar una inversión con centro de inversión el punto P y con potencia de inversion Wp = PT2 transformando así la circunferencia dada C en si misma, C '' y la recta r en una circunferencia C '''. Se trazarán las rectas tangentes comúnes a C '' y C '''. Las inversas de estas tangentes son las circunferencias solución.

5.- Circunferencia tangente que pasa por un punto y es tangente a dos rectas - PRR

Análisis mediante el Método Lógico Geométrico.
Datos necesarios: N = 3
Restricciones: 2 rectas tangentes, 1 punto de paso (r, s, P). R = 3
Grados de libertad: G = N-R = 0 => Problema determinado.

Para este problema, hay dos procedimientos diferentes para la determinacion de la solución.

Primer procedimiento
Es evidente que el centro de la circunferencia solución se encuentra en la bisectriz de las rectas r y s, y las circunferencias solución tienen que pasar por el punto P, por otro lado tambien deberá pasar por P' el punto simétrico de P respecto a la bisectriz. Esta resolución permite simplificar el problema de circunferencia que pasa por dos puntos y es tangente a una recta - PPR.








Segundo procedimiento
Se puede establecer una homotecia directa entre todas las circunferencias tangentes a las dos rectas. El centro de homotecia será la intersección de las rectas r y s a la que denominaremos A.
Se trazará una circunferencia auxiliar que sea tangente a las rectas r, s y se unirá el punto P al centro de homotecia A. La recta PA corta a la circunferencia auxiliar en los puntos I1 e I2. Los radios OI1 y OI2 deben tener radios homoteticos en las circunferencias solución y, para hallarlos basta con trazar sendas paralelas a dichos radios por P que cortarán a la bisectriz de r y s en los centros solucion Os1 y Os2.

4.- Circunferencia tangente que pasa por dos puntos y es tangente a otra circunferencia - PPC

Análisis mediante el Método Lógico Geométrico.
Datos necesarios: N = 3
Restricciones: 2 puntos de paso y circunferencia tangente (P, Q, C). R = 3
Grados de libertad: G = N-R = 0 => Problema determinado.

Para la construcción del problema se trazará la mediatriz de la recta que unen los puntos P y Q, que es eje radical de las circunferencias solución. En la mediatriz se encontrarán los centros de las circunferencias que contienen a P y Q, esto es, se trazará una circunferencia auxiliar que corte a la circunferencia C. Se determinará el centro radical R de las circunferencias solucion con la intersección de los ejes radicales obtenidos por la circunferencia auxiliar, la dada C y por el eje radical PQ. Por tanto, las tangentes trazadas desde el centro radical R a la circunferencia dada determinarán los puntos de tangencia T1 y T2. Finalmente los centros solución O1 y O2, son las intersecciones de la mediatrid de PQ con las rectas OT1 y OT2 respectivamente.

 

Aquí os dejo un video de la realizacion del problema de la mano de aitoreche

3.- Circunferencia tangente a tres rectas que se cortan - RRR

Análisis mediante el Método Lógico Geométrico.
Datos necesarios: N = 3
Restricciones: 3 rectas tangente a circunferencia solución (r, s, t). R = 3
Grados de libertad: G = N-R = 0 => Problema determinado.

Las rectas r, s, t se cortan formando un triángulo PQR. Se debererá trazar la circunferencia inscrita C1 que es tangente a las tres rectas r, s, t. Mediante la intersección de las bisectrices hallaremos el incentro O1 (centro de la circunferencia instrita). El radio es la mínima distancia de O1 a uno de los lados del triángulo, es decir, trazando una recta perpendicular a cualquiera de las rectas r, s, t por O1.
Las bisectrices exteriores de dos ángulos y la interior de otro, determinan los exincentros O2, O3, O4, centros de las circunferencias solución Cs2, Cs3, Cs4 (circunferencias exinscritas) que son tangentes a la circunferencia circunscrita C1 y por tanto a las rectas dadas. Los radios de las circunferencias solución se hallan trazando perpendiculares a las rectas r, s ,t por los exincentros.

2.- Circunferencia que pasa por dos puntos y es tangente a una recta - PPR

Dependiendo de la posicion de los puntos respect0 de la recta problema, tiene cero, una o dos soluciones.

Análisis mediante el Método Lógico Geométrico.
Datos necesarios: N = 3
Restricciones: 2 puntos de paso y una recta tangente a circunferencia solucion (A, B, C). R = 3
Grados de libertad: G = N-R = 0 => Problema determinado.

Se sabe que el centro de una circunferencia se encuentra en la mediatriz de dos de sus puntos AB pertenecientes a la circunferencia. Además, la recta AB tiene que ser eje radical de todas las circunferencias solución que pasen por A y B.
Por tanto, se trazará una circunferencia auxiliar con centro perteneciente en la mediatriz de la recta AB y con radio aleatorio. La interseccion de la recta AB con la recta r crea un punto de interseccion P que tiene igual potencia respecto a la circunferencia auxiliar y a su vez a las circunferencias solución. Entonces, PT2 = PA . PA' = PB . PB'

Se trazan los puntos de tangencia T1 y T2 entre la circunferencia auxiliar y el punto de interseccion P mediante un arco capaz de 90º. Una vez hallados los puntos de tangencia, estos, T1 y T2 se trasladan a la recta r, lugar geométrico de los puntos de tangencia.
Se trazan sendas rectas perpendiculares a r que contengan a T1 y T2 respectivamente y la intersección de esas rectas con la mediatriz de AB (lugar geometrico de los centros de las circunferencias que pasan por A y B) se encontrarán los centros de las circunferencias solución.



Aqui os dejo un video con explicación de como realizar el ejercicio de la mano de Aitoreche.

1.- Circunferencia que pasa por 3 puntos no alineados - PPP

Para la construccion de cualquier circunferencia es necesario dar como mínimo tres datos, para este caso en particular dichos datos son los tres puntos.


Análisis mediante el Método Lógico Geométrico.
Datos necesarios: N = 3
Restricciones: 3 puntos de paso (A, B, C). R = 3
Grados de libertad: G = N-R = 0 => Problema determinado.

Se empieza por señalar y unir los tres puntos por los que queremos que pase la circunferencia.

Una vez unidos, se trazan las mediatrices de los dos segmentos obtenidos. La intersección de las dos mediatrices es el circuncentro, centro de la circunferencia solución. El radio de la circunferencia sera la distancia del centro a uno de los puntos dados.

Los problemas de tangencias de Apolonio

Apolonio dió respuesta a los principales problemas de tangencias, mediante su teorema, el teorema de Apolonio en el que da respuesta al trazado de una circunferencia dados tres elementos, ya sea un punto (P), una recta (R), o una circunferencia (C). Éste lo citó de la siguiente manera:

"Dados tres elementos (punto, recta o circunferencia), trácese una circunferencia que sea tangente a cada uno de los tres."

El teorema de Apolonio da respuesta a los diez casos de tangecias. Estos son:

1. Construcción de una circunferencia que pasa por tres puntos - PPP
   
2. Dados dos puntos y una recta, hallar la circunferencia tangente a la recta y que pase por los dos puntos - PPR
   
3. Dadas tres rectas, construir la circunferencia tangente a las tres - RRR
   
4. Dados dos puntos y una circunferencia, trazar la circunferencia tangente que pasa por dos puntos y es tangente a otra circunferencia - PPC
   
5. Dados un punto y dos rectas, hallar la circunferencia tangente que pasa por un punto y es tangente a dos rectas - PRR
   
6. Dados un punto, una recta y una circunferencia, construir la circunferencia tangente a los tres elementos dados - PRC
   
7. Hallar la circunferencia tangente que pase por un punto y sea tangente a otras dos circunferencias dadas - PCC
   
8. Dados dos recta y una circunferencia, construir la circunferencia tangente a las rectas y a la circunferencia - RRC
   
9. Dados una recta y dos dircunferencias, trazar la circunferencia tangente a la recta y a las dos circunferencias - RCC
   
10. Dadas tres circunferencias, hallar la circunferencia tangente a las tres dadas - CCC
    

APOLONIO DE PERGA

Apolonio de Perga nació en Perga, Grecia Jónica, lo que es ahora Turquía, en el 262 a.C. aproximadamente, y murió en Alejandría, Egipto en el 190 a.C.

Apolonio era conocido como el "gran geómetra", principalmente por sus estudios en la geometría de las cónicas. De entre todos sus trabajos como geómetra, destacamos principalmente, su trabajo con las cónicas. Las Cónicas, fue su principal trabajo, compuesto por ocho volúmenes, explicaba teoremas, demostraciones, etc sobre las cónicas. Cabe destacar que fue el primero en dar nombre a lo que actualmente conocemos por parábola, elipse o hipérbola.

Con respecto a su trabajo literario, Las Cónicas, podemos destacar los principales temas que se explicaban en cada volumen. En los cuatro primeros volúmenes se daba una introducción elemental acerca de las propiedades básicas de los conos. Gran parte de esta información ya era sabida por la mayoría de los filósofos griegos como Euclides o Aristeo, con una gran diferencia, según Apolonio sus libros eran mas generalistas y mas trabajados.

En el volúmen uno, Apolonio estudió las propiedades fundamentales de las cónicas, es decir, las relaciones entre los diametros y tangentes de los conos. En el volumen dos, se dedicó a investigar sobre los diámetros conjugados y de las tangentes de estas curvas. En los volúmenes siguientes Apolonio discute las normales a las cónicas y muestra cuantas cónicas pueden dibujarse a partir de un punto. Un esquema de Las Cónicas sería el siguiente:

Tomo I - Propiedades fundamentales de las cónicas.
Tomo II - Diametros conjugados y tangentes de las cónicas.
Tomo III - El preferido de Apolonio.
Tomo IV - Maneras de sección de los conos.
Tomo V - Segmentos máximos y mínimos trazados respecto a una cónica.
Tomo VI - Cónicas semejantes.
Tomo VII - Diametros conjugados.
Tomo VIII - Apéndice

Pero eso no es todo acerca de Apolonio, es interesante hablar de su trabajo con las tangencias, puesto que fue él, el primero en determinar circunferencias tangentes a tres elementos dados, ya sean puntos, rectas o circunferencias. Estos casos, son los famosos problemas de Apolonio que estudiaremos más adelante.