7 - Circunferencia tangente a otras dos y que pasa por un punto

Análisis mediante el Método Lógico Geométrico

Datos necesarios: N = 3

Restricciones: Un punto y dos condiciones de tangencia con las otras dos circunferencias. R = 3

Grados de libertad: G = N-R = 0 => Problema determinado

El punto es exterior a las circunferencias

En este caso hallamos los centros de homotecia directo H e inverso K. Llamamos A y B a los puntos de corte de las circunferencias con el segmento que une los centros de dichas circunferencias. A continuación, hallamos la circunferencia que pasa por los puntos A, B y P. El segmento que une el centro de homotecia H con el punto P determina otro punto M sobre la circunferencia ABP. Dos de las circunferencias buscadas (en color morado en la imagen se obtienen hallando las que son tangentes a cualquiera de las dadas y que pasan por los puntos P y M.

El punto está en una de las circunferencias

En el caso de que el punto dado P pertenezca a una de las circunferencias se resuelve también a partir de los los centros de homotecia H y K. Desde H trazamos una recta que pase por P, cortando a la otra circunferencia en M, que resulta ser el punto de tangencia de una de las circunferencias buscadas. Para encontrar el centro de esa circunferencia, hallamos la intersección de las rectas que unen los centros de las circunferencias con sus respectivos puntos de tangencia M y P. Para obtener la otra circunferencia, hacemos lo mismo con K, el otro centro de homotecia.

5.- Circunferencia tangente que pasa por un punto y es tangente a dos rectas - PRR

Análisis mediante el Método Lógico Geométrico.
Datos necesarios: N = 3
Restricciones: 2 rectas tangentes, 1 punto de paso (r, s, P). R = 3
Grados de libertad: G = N-R = 0 => Problema determinado.

Para este problema, hay dos procedimientos diferentes para la determinacion de la solución.

Primer procedimiento
Es evidente que el centro de la circunferencia solución se encuentra en la bisectriz de las rectas r y s, y las circunferencias solución tienen que pasar por el punto P, por otro lado tambien deberá pasar por P' el punto simétrico de P respecto a la bisectriz. Esta resolución permite simplificar el problema de circunferencia que pasa por dos puntos y es tangente a una recta - PPR.








Segundo procedimiento
Se puede establecer una homotecia directa entre todas las circunferencias tangentes a las dos rectas. El centro de homotecia será la intersección de las rectas r y s a la que denominaremos A.
Se trazará una circunferencia auxiliar que sea tangente a las rectas r, s y se unirá el punto P al centro de homotecia A. La recta PA corta a la circunferencia auxiliar en los puntos I1 e I2. Los radios OI1 y OI2 deben tener radios homoteticos en las circunferencias solución y, para hallarlos basta con trazar sendas paralelas a dichos radios por P que cortarán a la bisectriz de r y s en los centros solucion Os1 y Os2.